Este nivel está dedicado exclusivamente a las ecuaciones de primer grado con paréntesis. Empezaremos explicando cuál es su utilidad y cómo debemos trabajar con ellos. A lo largo del texto resolveremos 20 ecuaciones (con paréntesis) y 5 problemas.
Advertimos al lector que trabajar con paréntesis puede resultar un poco complicado al principio, pero la práctica hace al maestro.
Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:
En este apartado veremos cómo proceder para eliminar los paréntesis. No olvidéis que si delante de un paréntesis hay un número u otro paréntesis, se trata de un producto (aunque no tenga el símbolo \(\cdot\)).
La principal finalidad de los parétesis es la de priorizar las operaciones. Por ejemplo, en el cálculo de la operación
$$ 2\cdot 3 -1 =$$
$$ = 6-1 = 5$$
primero se calcula el producto y después la resta (por la prioridad de las operaciones).
Si queremos cambiar este orden tenemos que utilizar un paréntesis, por ejemplo,
$$ 2\cdot (3 – 1) = 2\cdot 2 = 4$$
En ambas operaciones aparecen los mismos números y operaciones (producto y resta), pero el resultado es distinto por la presencia del paréntesis.
Otra finalidad de los paréntesis es simplificar las expresiones algebraicas. Agrupan elementos sobre los que se realiza una misma operación para conseguir así acortar las expresiones.
Por ejemplo, la operación que indica la suma de los monomios \(3\), \(2x\) y \(6\) después de multiplicarlos por 2 es
$$ 2\cdot 3 + 2\cdot 2x + 2\cdot 6 $$
Como todos los monomios se multiplican por 2, podemos escribir la operación anterior como
$$ 2\cdot (3 + 2x + 6)$$
Y para simplificar todavía más, podemos omitir el símbolo \(\cdot \) de la multiplicación:
$$ 2(3+2x+6)$$
Los paréntesis son, sin embargo, un obstáculo a la hora de resolver las ecuaciones. Debemos eliminarlos. Veamos cómo:
Un caso simple en el que utilizamos los paréntesis es cuando multiplicamos por un número o monomio que tiene signo negativo.
Ejemplos:
\( 3\cdot (-5) = -15 \)
\( 2 \cdot (-2x) = -4x \)
\( x\cdot (-5) = -5x \)
\( -2\cdot (-4) = 8 \)
El paréntesis se elimina al realizar la operación producto.
Si un paréntesis tiene delante un número (llamado coeficiente), este número multiplica a todos los sumandos que contiene el paréntesis. Luego para poder eliminar el paréntesis, tenemos que multiplicar su contenido por el coeficiente.
Ejemplos:
\( 2\cdot (4+x) = 2\cdot 4 + 2\cdot x =\)
\( = 8 + 2x\)
\( 3\cdot (2-3x) = 3\cdot 2 + 3\cdot(-3x) =\)
\( = 6 - 9x \)
\( 5(x-1) = 5x -5 \)
Si el coeficiente tiene signo negativo, también hay que tenerlo en cuenta al multiplicar.
Ejemplos:
\( -2 (1 + x) = (-2)\cdot 1 +(-2)\cdot x =\)
\( = -2 -2x \)
\( -3 (x-2) = (-3)\cdot x +(-3)\cdot(-2) = \)
\( = -3x + 6 \)
\( - (2x- 5) = -2x + 5 \)
En este ejemplo hay un signo negativo delante del paréntesis (sin número). El signo negativo se interpreta como el coeficiente -1.
\( -3 (2 + x -1) = -6 -3x + 3 \)
Los paréntesis que hemos visto hasta ahora tienen el coeficiente delante (a su izquierda) multiplicando, pero también puede darse el caso en el que está detrás (a su derecha).
Ejemplo:
$$ (2 + 3) \cdot x = 2\cdot x + 3\cdot x = $$
$$ = 2x + 3x = 5x $$
Si un paréntesis multiplica a otro elemento, todo el contenido del paréntesis tiene que multiplicar a dicho elemento. Así, el paréntesis de \( (2+3)\cdot x\) significa que el resultado de \(2+3\) multiplica a \(x\):
$$ (2+ 3) \cdot x = 5\cdot x $$
Normalmente, utilizaremos la primera forma ya que habitualmente no podremos calcular las sumas de dentro del paréntesis.
Es habitual encontrarse con paréntesis dentro de otros. Lo que haremos es ir eliminándolos uno detrás de otro.
En el primer ejemplo vamos a eliminar primero el paréntesis exterior y después el interior. En el segundo ejemplo lo haremos al revés.
Ejemplos:
\( 2(1+3(x+2)) \)
Eliminamos el paréntesis exterior al multiplicar su contenido por 2:
\( 2\cdot 1 + 2\cdot 3(x+2) =\)
\( 2 + 6(x+2) \)
Eliminamos el paréntesis multiplicando por 6 su contenido:
\( 2 + 6\cdot x + 6\cdot 2 =\)
\( 2 + 6x + 12 \)
\( 3(1 -(2-x))\)
Eliminamos el paréntesis interior al cambiar el signo de sus sumandos:
\( 3(1 – 2 +x )\)
Eliminamos el paréntesis al multiplicar sus sumandos por su coeficiente:
\( 3 – 6 + 3x \)
En este apartado vamos a calcular 5 operaciones en las que intervienen los mismos elementos y en el mismo orden, pero cuyo resultado es distinto porque la ubicación de los paréntesis cambia la prioridad de las operaciones.
Calculamos el producto de la izquierda:
$$ 6 + 3\cdot(5-x) $$
Eliminamos el paréntesis (el 3 multiplica a los dos sumandos del paréntesis):
$$ 6 + 3\cdot 5 +3\cdot(-x) $$
$$ 6 + 15 -3x $$
$$ 21 -3x $$
Operamos dentro del paréntesis (primero el producto y luego la suma):
$$ (6 +3)\cdot 5-x $$
$$ 9\cdot 5 -x $$
El 9 sólo multiplica al 5:
$$ 45 -x $$
Calculamos el producto de la izquierda y el del paréntesis:
$$ 6 + 15 -x $$
$$ 21- x $$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ 3\cdot (5) \cdot 5 -x $$
Calculamos el producto de la izquierda:
$$ 15\cdot 5 -x $$
Calculamos el producto que queda:
$$ 75 -x $$
Calculamos el producto de dentro del paréntesis:
$$ 3\cdot (2 + 15 -x) $$
$$ 3\cdot (17-x)$$
El 3 multiplica a los dos sumandos:
$$ 3\cdot 17 + 3\cdot (-x) $$
$$ 51 -3x$$
En este apartado resolvemos 10 ecuaciones con uno o dos paréntesis, pero no son paréntesis anidados (unos dentro de otros).
Multiplicamos por 2 los monomios de dentro del paréntesis para eliminarlo:
$$ 2\cdot 1 + 2\cdot x = 3 +x $$
$$ 2 + 2x = 3 + x $$
Pasamos el 2 de la izquierda restando a la derecha:
$$ 2x = 3 +x -2 $$
$$ 2x = 1+x $$
Pasamos la \(x\) de la derecha a la izquierda:
$$ 2x-x = 1 $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación es \(x = 1\).
Como el paréntesis tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo de los sumandos que contiene:
$$ 3 -2 -x = x+3 $$
$$ 1 -x = x +3 $$
Pasamos el 1 de la izquierda restando a la derecha:
$$ -x = x +3 -1 $$
$$ -x = x +2 $$
Pasamos la \(x\) de la derecha al otro lado restando:
$$ -x -x = 2 $$
$$ -2x = 2 $$
El coeficiente -2 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{2}{-2} $$
$$ x = -1 $$
La solución de la ecuación es \(x = -1\).
Multiplicamos por 3 los monomios del paréntesis para eliminarlo:
$$ 3\cdot 2 + 3\cdot (-x) = 3 -2x $$
$$ 6 -3x = 3 -2x $$
Pasamos el 6 a la derecha:
$$ -3x = 3 -2x -6 $$
$$ -3x = -2x -3 $$
Pasamos el \(-2x\) a la izquierda:
$$ -3x + 2x = -3 $$
$$ -x = -3 $$
Cambiamos los dos monomios de lado:
$$ 3 = x $$
La solución de la ecuación es \(x = 3\).
El coeficiente del paréntesis es -2. Para eliminar el paréntesis, multiplicamos su contenido por -2 (signo incluido):
$$ -2\cdot 1 + (-2)\cdot x = x $$
$$ -2 -2x = x $$
Pasamos el \(-2x\) al otro lado:
$$ -2 = x +2x $$
$$ -2 = 3x $$
El coeficiente 3 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = -\frac{2}{3} $$
La fracción no puede simplificarse porque el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1.
La solución de la ecuación es \( x = -2/3\).
Multiplicamos los sumandos del paréntesis por -3:
$$ -3\cdot 3 + (-3)\cdot (-x) = x $$
Teniendo en cuenta la regla de los signos,
$$ -9 + 3x = x $$
Pasamos \(3x\) al otro lado:
$$ -9 = x -3x $$
$$ -9 = -2x $$
El coeficiente -2 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x= \frac{-9}{-2} $$
Como el numerador y el denominador tienen signo negativo, la fracción es positiva:
$$ x= \frac{9}{2}$$
La fracción no puede simplificarse más.
La solución de la ecuación es \( x = 9/2\).
Multiplicamos por el coeficiente -2 del paréntesis para eliminarlo:
$$ -2\cdot 3 + (-2)\cdot (-2x) = -2x $$
$$ -6 + 4x = -2x $$
Pasamos \(4x\) al otro lado:
$$ -6 = -2x -4x $$
$$ -6 = -6x $$
El coeficiente -6 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{-6}{-6} $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación es \(x = 1\).
En esta ecuación el coeficiente del paréntesis está escrito en su lado derecho, pero se procede del mismo modo:
$$ 2\cdot (-3) -x\cdot (-3) = 2x $$
$$ -6 + 3x = 2x $$
$$ -6 = 2x-3x $$
$$ -6 = -x $$
$$ x = 6 $$
La solución de la ecuación es \(x = 6\).
Tenemos paréntesis en ambos lados de la igualdad. Primero quitamos uno (el de la izquierda, por ejemplo) y luego el otro:
$$ -2\cdot x + (-2)\cdot (-5) = 5\cdot(4-x)$$
$$ -2x +10 = 5\cdot(4-x) $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ -2x + 10 = 5\cdot 4 + 5\cdot (-x) $$
$$ -2x + 10 = 20 - 5x$$
Pasamos \(-5x\) al otro lado:
$$ -2x + 5x +10 = 20$$
$$ 3x + 10 = 20$$
Pasamos 10 al otro lado:
$$ 3x = 20-10 $$
$$ 3x = 10 $$
Despejamos la incógnita:
$$ x = \frac{10}{3} $$
La solución de la ecuación es \(x = 10/3\).
Calculamos primero la resta del interior del paréntesis de la izquierda:
$$ (2)\cdot (1+x) \cdot (-2) = x $$
$$ 2\cdot (1+x) \cdot (-2) = x $$
En teoría, se elimina el paréntesis de la izquierda al multiplicar su contenido por 2, pero en esta ecuación no podemos eliminarlo porque el resultado debe multiplicarse por el de la derecha (el que contiene a -2). Así, lo que hacemos es multiplicar el interior del paréntesis por 2, pero no eliminamos todavía el paréntesis:
$$ (2\cdot 1 + 2\cdot x ) \cdot (-2) = x $$
$$ (2 +2x) \cdot (-2) = x $$
El paréntesis de la izquierda está multiplicado por -2 (aunque -2 está a su derecha). Al multiplicar los sumandos por -2 ya podemos eliminar el paréntesis:
$$ 2\cdot (-2) + 2x\cdot (-2) = x $$
$$ -4 -4x = x $$
$$ -4 = x +4x $$
$$ -4 = 5x $$
$$ x = -\frac{4}{5} $$
La fracción no se puede simplificar más.
La solución de la ecuación es \(x = -4/5\).
$$ (-3)\cdot(1-x)\cdot (-2) = -(7 – x) $$
El coeficiente -3 multiplica a todo el paréntesis que tiene a su derecha, pero no eliminamos dicho paréntesis porque después debemos multiplicarlo por -2:
$$ (-3\cdot 1 +(-3)\cdot (-x))\cdot (-2) = -(7-x) $$
$$ (-3 +3x)\cdot (-2) = -(7-x)$$
Podemos eliminar los paréntesis de la izquierda al multiplicar por -2:
$$ -3\cdot (-2) +3x\cdot (-2) = -(7-x) $$
$$ 6 -6x = -(7-x) $$
El paréntesis del lado derecho tiene un signo negativo delante. Lo eliminamos al cambiar el signo de los monomios:
$$ 6 -6x = -7 + x $$
$$ 6 + 7 = x + 6x $$
$$ 13 = 7x $$
$$ x = \frac{13}{7} $$
La fracción de la solución no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \(x = 13/7\).
En esta sección resolvemos 10 ecuaciones con paréntesis anidados (unos dentro de otros).
Cuando tenemos un paréntesis dentro de otro, primero eliminamos uno y después el otro. Podemos empezar desde el más exterior al más interior o viceversa.
Eliminamos primero el paréntesis interior. Este paréntesis tiene el coeficiente 2, por lo que multiplicamos su interior por 2:
$$ 2(1 + 2\cdot 1 +2\cdot x) = 6x $$
Simplificamos el interior del paréntesis antes de eliminarlo:
$$ 2(1 + 2 + 2x ) = 6x $$
$$ 2(3 +2x ) = 6x $$
El paréntesis que queda es fácil de eliminar:
$$ 2\cdot 3 +2 \cdot 2x = 6x $$
$$ 6 + 4x = 6x $$
$$ 6 = 6x -4x $$
$$ 6 = 2x $$
$$ x=\frac{6}{2}$$
$$ x = 3 $$
La solución de la ecuación es \(x = 3\).
Como el paréntesis interior tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo de sus sumandos:
$$ 3 (5x -2 +x ) = 12x$$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ 3 (6x -2 ) = 12x $$
Eliminamos el paréntesis:
$$ 18x -6 = 12x $$
$$ 18x -12x = 6 $$
$$ 6x = 6 $$
$$ x =\frac{6}{6} $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación es \(x = 1\).
El paréntesis de dentro tiene coeficiente -2. Multiplicamos sus sumandos por este número para eliminarlo:
$$ -( x -6 +2x -2 ) = 2 $$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ - (3x -8 ) = 2 $$
Eliminamos el paréntesis cambiando el signo de sus sumandos:
$$ -3x + 8 = 2 $$
$$ -3x = 2 -8 $$
$$ -3x = -6 $$
$$ x = \frac{-6}{-3} $$
$$ x = 2 $$
La solución de la ecuación es \(x = 2\).
Cambiamos el signo de los sumandos del paréntesis interior porque tiene un signo negativo delante:
$$ 1 - (x -5 -x) = 12x$$
$$ 1 – (-5) = 12x$$
$$ 1 +5 = 12x $$
$$ 6 = 12x $$
$$ x = \frac{6}{12} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{1}{2} $$
La solución de la ecuación es \(x = 1/2\).
El paréntesis de dentro tiene coeficiente -5. Multiplicamos sus sumandos por -5 para eliminarlo:
$$ 2(1 -x -5 +5x ) = 0$$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ 2(-4 +4x) = 0$$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ -8 + 8x = 0$$
$$ 8x = 8 $$
$$ x = \frac{8}{8} $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación es \(x = 1\).
$$ 1-2(6-(2-(1-x)+1)-1) = 5$$
En esta ecuación tenemos 3 paréntesis anidados. Empezamos por el paréntesis más interior: como tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo de sus sumandos:
$$ 1 -2(6 -(2-1+x+1)-1 ) = 5$$
Operamos un poco dentro del paréntesis más interior:
$$ 1 -2(6 -(2+x)-1) = 5$$
El paréntesis de dentro tiene un signo negativo delante. Podemos eliminar el paréntesis cambiando el signo de sus monomios:
$$ 1-2(6-2-x-1) = 5$$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ 1-2(3-x) =5 $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ 1 -6 +2x = 5$$
$$ -5 +2x = 5 $$
$$ 2x = 5+5 $$
$$ 2x = 10 $$
$$ x = \frac{10}{2}$$
$$ x = 5 $$
La solución de la ecuación es \(x = 5\).
$$ 2(3(x-1)-2(1-x)) = 20 $$
Eliminamos el paréntesis interior de la izquierda multiplicando sus sumandos por su coeficiente 3:
$$ 2( 3x -3 -2(1-x)) = 20 $$
Eliminamos el paréntesis interior multiplicando sus sumandos por -2:
$$ 2(3x -3 -2 +2x ) = 20 $$
Operamos un poco dentro del paréntesis:
$$ 2( 5x -5) = 20 $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ 10x - 10 = 20 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 10x = 20 +10 $$
$$ 10x = 30 $$
$$ x = \frac{30}{10} $$
$$ x = 3 $$
La solución de la ecuación es \( x = 3\).
$$ 3(1-(1-2(1-x))) = -2(x-2)$$
Eliminamos el paréntesis de la derecha:
$$ 3(1-(1-2(1-x))) = 4-2x$$
Eliminamos el paréntesis más interior:
$$ 3(1 -(1-2+2x)) = 4-2x $$
Eliminamos el paréntesis interior cambiado el signo de sus sumandos:
$$ 3( 1 -1 +2 -2x) = 4-2x $$
Operamos dentro del paréntesis para simplificar:
$$ 3( 2-2x) = 4-2x $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ 6 - 6x = 4 -2x $$
Pasamos el 4 a la izquierda y el \(6x\) a la derecha:
$$ 6 – 4 = 6x -2x $$
$$ 2 = 4x $$
El 4 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{2}{4} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{1}{2} $$
La solución de la ecuación es \( x = 1/2\).
$$ -((1-x)\cdot (2-x -(1-x))) = 0 $$
Eliminamos el paréntesis interior de la derecha cambiando el signo de sus sumandos:
$$ -((1-x)\cdot(2-x-1+x)) = 0$$
Operamos dentro del paréntesis de la derecha para simplificar:
$$ -((1-x)\cdot(1)) = 0 $$
$$ -(1-x) = 0 $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ -1 +x = 0 $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación es \( x = 1\).
$$ 3(1-(2-(x+1))) = 9 $$
Eliminamos el paréntesis más interior cambiando el signo de sus sumandos:
$$ 3(1-(2-x-1)) = 9 $$
Operamos dentro del paréntesis interior:
$$ 3(1-(1-x))=9 $$
Eliminamos el paréntesis interior:
$$ 3(1-1+x) = 9 $$
Operamos dentro del paréntesis:
$$ 3(x) = 9 $$
$$ 3x = 9 $$
$$ x= \frac{9}{3}$$
$$ x= 3 $$
La solución de la ecuación es \( x = 3\).
A continuación, resolvemos 5 problemas en los que tenemos que plantear una ecuación con paréntesis (aunque también pueden resolverse sin utilizar paréntesis).
Un número más el doble de su consecutivo es 26. ¿Qué número es?
La incógnita \(x\) es el número que buscamos. Como su consecutivo es \(x+1\), el doble de éste es \(2\cdot (x+1)\).
Es importante escribir el paréntesis en \(2\cdot (x+1)\) porque si no, \(2\cdot x +1\) es el consecutivo del doble de \(x\) y no el doble del consecutivo de \(x\).
La ecuación del problema es
$$ x + 2\cdot(x+1) = 26 $$
La resolvemos:
$$ x + 2x +2 = 26 $$
$$ 3x +2 = 26 $$
$$ 3x = 26-2$$
$$ 3x = 24 $$
$$ x=\frac{24}{3} $$
$$ x = 8 $$
El número es 8.
María es 5 años mayor que Teresa y el doble de su edad es el triple de la de Teresa. ¿Qué edad tiene María?
La incógnita \(x\) es la edad de María. Como Teresa tiene 5 años menos que María, su edad es \(x-5\).
El doble de la edad de María es \(2\cdot x\) y el triple de la de Teresa es \(3\cdot (x-5)\).
Es importante escribir el paréntesis en \(3\cdot (x-5)\) porque si no, \(3\cdot x-5\) es el triple de la edad de María menos 5.
La ecuación del problema es
$$ 2\cdot x = 3\cdot (x-5) $$
La resolvemos:
$$ 2x = 3x - 15 $$
$$ 2x -3x = -15 $$
$$ -x = -15 $$
$$ x= 15 $$
La edad de María es 15.
El triple del número anterior a \(x\) coincide con el doble del consecutivo de \(x\). Calcular \(x\).
El consecutivo de \(x\) es \(x+1\). El doble del consecutivo de \(x\) es \(2\cdot (x+1)\).
El número anterior a \(x\) es \(x-1\). El triple del anterior de \(x\) es \(3\cdot (x-1)\).
La ecuación del problema es
$$ 3\cdot (x-1) = 2\cdot (x+1) $$
La resolvemos:
$$ 3x -3 = 2x +2 $$
$$ 3x -2x = 2 +3 $$
$$ x = 5 $$
El número buscado es 5.
Pedro tiene 27 años y su hijo tiene 7. ¿Dentro de cuántos años la edad de Pedro será el doble que la de su hijo?
La incógnita \(x\) es el número de años que tienen que pasar.
Dentro de \(x\) años, la edad de Pedro será \(27+x\) y la de su hijo será \(7+x\). El doble de la edad del hijo será \(2\cdot (7+x)\).
La ecuación del problema es
$$ 27 +x = 2\cdot (7 +x ) $$
La resolvemos:
$$ 27 +x = 14 +2x $$
$$ 27 - 14 = 2x -x $$
$$ 13 = x $$
Dentro de 13 años la edad de Pedro será el doble que la de su hijo.
La base de un rectángulo es 5 unidades mayor que su altura y su perímetro es el quíntuple de la altura. ¿Qué altura tiene?
La incógnita \(x\) es la longitud de la altura del rectángulo. Como la base es 5 unidades mayor, su longitud es \(x+5\).
El perímetro \(P\) del rectángulo es la suma de sus lados. Como éstos son iguales dos a dos, el perímetro es la suma del doble de la altura y del doble de la base:
$$P = 2\cdot x + 2\cdot (x+5)$$
Y como sabemos que el perímetro es el quíntuple de la altura, \(5x\), la ecuación del problema es
$$ 5x = 2\cdot x + 2\cdot (x+5)$$
La resolvemos:
$$ 5x = 2x +2x +10 $$
$$ 5x = 4x +10 $$
$$ 5x-4x=10$$
$$ x = 10 $$
La altura del rectángulo mide 10 unidades.