Como la ecuación tiene fracciones, multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (3, 2 y 4) para que desaparezcan.

Multiplicamos la ecuación por 12:

$$ 12\cdot \frac{3x-4}{3} + 12\cdot \frac{2-3x}{2} = 12\cdot \frac{1-x}{4} $$

Simplificamos:

$$ 4(3x-4) + 6(2-3x) = 3(1-x) $$

Calculamos los productos:

$$ 12x -16 + 12 -18x = 3 -3x $$

Resolvemos:

$$ -6x -4 = 3 -3x $$

$$ -4 -3 = 6x -3x $$

$$ -7 = 3x $$

El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:

$$ x= -\frac{7}{3} $$

La fracción no puede simplificarse.

La solución de la ecuación es \( x = -\frac{7}{3} \).

En esta ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros). Primero eliminaremos los de dentro y después los otros.

Comenzamos por el paréntesis interior del lado izquierdo. Para eliminarlo, multiplicamos su contenido por el coeficiente -2 (no olvidéis el signo negativo):

$$ 3(1-2+2x) = 2x-(x-(1-x)) $$

Simplificamos el interior del paréntesis de la izquierda:

$$ 3(-1 +2x ) = 2x-(x-(1-x)) $$

Eliminamos el paréntesis interior del lado derecho cambiando el signo de sus sumandos (porque tiene un signo negativo delante):

$$ 3(-1+2x) = 2x-(x-1+x) $$

$$ 3(-1+2x) = 2x-(2x-1) $$

En el lado izquierdo, multiplicamos por 3 el contenido del paréntesis:

$$ -3 +6x = 2x-(2x-1) $$

Eliminamos el paréntesis que queda:

$$ -3 +6x = 2x -2x+1 $$

Resolvemos la ecuación:

$$ -3 +6x = 1$$

$$ 6x = 1+3$$

$$ 6x = 4 $$

El coeficiente 6 de la incógnita pasa dividiendo:

$$ x = \frac{4}{6} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = \frac{2}{3} $$

La fracción no puede simplificarse más.

La solución de la ecuación es \( x = \frac{2}{3} \).

Multiplicamos la ecuación por el único denominador que hay (3):

$$ 3\cdot x +3\cdot \frac{2}{3}\cdot (5-x) = 3\cdot 2x $$

Simplificamos:

$$ 3x + 2(5-x) = 6x $$

Eliminamos el paréntesis:

$$ 3x + 10 -2x = 6x $$

$$ x + 10 = 6x$$

$$ 10 = 6x-x $$

$$ 10 = 5x $$

Despejamos la incógnita:

$$ x = \frac{10}{5} $$

$$ x = 2 $$

La solución de la ecuación es \( x = 2\).

Tenemos dos fracciones, pero como una de ellas está dentro del paréntesis, vamos a multiplicar por el denominador de la fracción que no está en el paréntesis.

Multiplicamos por 2:

$$ 2\cdot 1-2\cdot \frac{3}{2}\left( x-\frac{1}{3}\right) = 2\cdot 6x $$

Simplificamos:

$$ 2 -3\left( x -\frac{1}{3}\right) = 12x $$

Observad que ha desaparecido el denominador (el numerador no).

Como el paréntesis tiene el coeficiente -3, multiplicamos su contenido por -3 y lo eliminamos:

$$ 2 -3x + 3\cdot \frac{1}{3} = 12x $$

Observad que hemos cambiado los signos al multiplicar.

La fracción desaparece al multiplicarla por 3:

$$ 2-3x + 1 = 12x $$

$$ 3-3x = 12x $$

$$ 3 = 12x+3x$$

$$ 3 = 15x $$

El 15 pasa dividiendo:

$$ x = \frac{3}{15} $$

Simplificamos:

$$ x = \frac{1}{5} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{5} \).

Tenemos una fracción dentro de un paréntesis, así que lo que hacemos primero es eliminar los paréntesis.

Eliminamos primero el interior multiplicando por su coeficiente -3:

$$ 2\left( x-3+3\cdot\frac{3x}{5} \right) = 2x $$

Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando por 2:

$$ 2x-6+6\cdot\frac{3x}{5} = 2x $$

Multiplicamos la ecuación por 5 para eliminar el denominador:

$$ 5\cdot 2x-5\cdot 6+5\cdot 6\cdot\frac{3x}{5} = 5\cdot 2x $$

Calculamos los productos:

$$ 10x-30 +6\cdot 3x = 10x $$

$$ 10x-30+18x = 10x$$

$$ 28x-30 = 10x$$

$$ 28x-10x = 30$$

$$ 18x = 30 $$

El 18 pasa dividiendo:

$$ x = \frac{30}{18} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = \frac{5}{3} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{5}{3} \).

Como las fracciones están dentro de los paréntesis, primero vamos eliminando los paréntesis y luego ya nos ocuparemos de las fracciones.

Eliminamos el paréntesis interior cambiando el signo de sus monomios (tiene signo negativo delante):

$$ 3\left( \frac{5x}{3}-x +\frac{5}{2} \right) = \frac{7x}{6} $$

Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando sus monomios por 3:

$$ 3\cdot \frac{5x}{3}-3\cdot x +3\cdot \frac{5}{2} = \frac{7x}{6} $$

Calculamos los productos:

$$ 5x-3x +\frac{15}{2} = \frac{7x}{6} $$

$$ 2x +\frac{15}{2} = \frac{7x}{6} $$

Multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (es 6) para eliminar las fracciones:

$$ 6\cdot 2x +6\cdot \frac{15}{2} =6\cdot \frac{7x}{6} $$

Simplificamos:

$$ 12x + 3\cdot 15 = 7x $$

$$ 12x + 45 = 7x $$

$$ 12x-7x = -45 $$

$$ 5x = -45 $$

El 5 pasa al otro lado dividiendo:

$$ x = -\frac{45}{5} $$

$$ x = -9 $$

La solución de la ecuación es \( x = -9\).

Como hay dos fracciones que están fuera del paréntesis, multiplicamos la ecuación por el mcm de sus denominadores (no consideramos la fracción de dentro del paréntesis porque a veces desaparece o cambia su denominador al eliminar los paréntesis):

$$ 10\cdot \frac{1}{5} \left( \frac{5x}{3}- 1\right) = 10\cdot \frac{3x}{10} $$

Simplificamos:

$$ 2\left( \frac{5x}{3}- 1\right) = 3x $$

Eliminamos el paréntesis:

$$ 2\cdot \frac{5x}{3} -2 = 3x$$

$$ \frac{10x}{3} -2 = 3x $$

Multiplicamos la ecuación por 3:

$$ 3\cdot \frac{10x}{3} -3\cdot 2 = 3\cdot 3x $$

$$ 10x -6 = 9x $$

$$ 10x -9x = 6 $$

$$ x = 6 $$

La solución de la ecuación es \( x = 6\).

Multiplicamos por el mcm de los denominadores de las dos fracciones de fuera del paréntesis:

$$ 6\cdot \frac{1}{3} \left( 5-\frac{x-2}{2}\right) = 6\cdot \frac{3x-2}{2} $$

Simplificamos:

$$ 2 \left( 5-\frac{x-2}{2}\right) = 3 (3x-2) $$

Eliminamos el paréntesis de la izquierda:

$$ 2 \cdot 5-2\cdot \frac{x-2}{2} = 3(3x-2) $$

Simplificamos:

$$ 10-(x-2) = 3(3x-2) $$

Eliminamos los paréntesis:

$$ 10-x+2 = 9x-6 $$

$$ 12-x = 9x-6 $$

$$ 12+6 = 9x+x$$

$$ 18 = 10x $$

El 10 pasa dividiendo al otro lado:

$$ x = \frac{18}{10} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = \frac{9}{5} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{9}{5} \).

Lo primero que haremos es eliminar los paréntesis. Comenzamos por el interior:

$$ 1-4\left( \frac{3x-1}{2} - 3x+3\right) = \frac{3-2x}{9} $$

Eliminamos el paréntesis que queda (no olvidéis el signo negativo):

$$ 1-4\cdot \frac{3x-1}{2} +4\cdot 3x -4\cdot 3 = \frac{3-2x}{9} $$

Calculamos los productos:

$$ 1-2(3x-1) +12x -12= \frac{3-2x}{9} $$

Eliminamos el paréntesis que queda:

$$ 1-6x +2 +12x -12 = \frac{3-2x}{9} $$

Operamos en el lado izquierdo:

$$ 6x -9 = \frac{3-2x}{9} $$

Multiplicamos por 9 la ecuación para eliminar la fracción:

$$ 9\cdot 6x -9\cdot 9 = 9\cdot \frac{3-2x}{9} $$

Operamos:

$$ 54x -81 = 3-2x $$

$$ 54x +2x = 3+81 $$

$$ 56x = 84 $$

El 56 pasa dividiendo al otro lado:

$$ x = \frac{84}{56} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = \frac{3}{2} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{3}{2} \).

Eliminamos el paréntesis:

$$ 1-\frac{3x-1}{2} +\frac{3x-1}{3} = x $$

Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):

$$ 6\cdot 1-6\cdot \frac{3x-1}{2} +6\cdot \frac{3x-1}{3} = 6\cdot x $$

Operamos:

$$ 6-3(3x-1) +2(3x-1) = 6x $$

Eliminamos los paréntesis:

$$ 6-9x+3+6x-2 = 6x $$

$$ -3x +7 = 6x $$

$$ 7 = 6x +3x $$

$$ 7 = 9x $$

El 9 pasa dividiendo:

$$ x = \frac{7}{9} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{7}{9} \).

Primero eliminamos el paréntesis exterior (sólo tenemos que cambiar el signo de sus sumandos):

\( 5- 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) +2 = x \)

Sumamos el 5 y el 2:

\( 7- 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) = x \)

Pasamos el 7 al otro lado para trabajar luego en el lado izquierdo:

\( - 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) = x -7 \)

Eliminamos el paréntesis exterior multiplicando sus sumandos por -3:

\( -3\cdot \frac{x}{2} -3\cdot \frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) = x -7 \)

Una fracción desparece (la segunda):

\( -3\cdot \frac{x}{2} -\left( 15x -\frac{4}{3} \right) = x -7 \)

Eliminamos el paréntesis que queda cambiando el signo de sus sumandos:

\( -3\cdot \frac{x}{2} -15x +\frac{4}{3} = x-7 \)

Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):

\( 6\cdot (-3)\cdot \frac{x}{2} -6\cdot 15x +6\cdot \frac{4}{3} = 6\cdot x+6\cdot (-7) \)

Operamos:

\( 3\cdot (-3)\cdot x -90x +2\cdot 4 = 6x-42 \)

Resolvemos:

\( -9x -90x + 8 = 6x-42 \)

\( -99x +8 = 6x-42 \)

\( 8+42 = 6x +99x \)

\( 50 = 105x \)

El 105 pasa dividiendo:

\( x = \frac{50}{105} \)

Simplificamos la fracción:

\( x = \frac{10}{21} \)

La solución de la ecuación es \( x = \frac{10}{21} \).

Primero eliminamos el paréntesis exterior:

\( \frac{x}{3}-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 1 \)

Pasamos las fracciones de fuera del paréntesis al otro lado para trabajar en el lado izquierdo más cómodamente:

\( \frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 1 -\frac{x}{3}+\frac{x}{2} \)

Multiplicamos por 6 la ecuación:

\(6\cdot \frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 6\cdot1 -6\cdot\frac{x}{3}+6\cdot\frac{x}{2} \)

Operamos:

\(2\cdot \left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 6-2x+3x \)

Eliminamos el paréntesis exterior en la izquierda y operamos en la derecha:

\(2\cdot \frac{2x}{3}-2\cdot \left( \frac{1}{3}-6x \right) = 6+x \)

Eliminamos el paréntesis:

\(\frac{4x}{3}-2\cdot \frac{1}{3}+2\cdot 6x = 6+x \)

\(\frac{4x}{3}- \frac{2}{3}+12x = 6+x \)

Multiplicamos por 3 la ecuación:

\( 4x -2 + 36x = 18 +3x \)

\( 40x -2 = 18 +3x \)

\( 37x = 20 \)

\( x = \frac{20}{37} \)

La fracción no se puede simplificar.

La solución de la ecuación es \( x =\frac{20}{37} \).

Simplificamos la fracción que hay delante del paréntesis de la derecha:

\( \frac{2}{5}\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=\frac{1}{2}\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)

El 5 del denominador de la fracción de la izquierda pasa al otro lado multiplicando:

\( 2\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=\frac{5}{2}\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)

El 2 del denominador de la fracción de la derecha pasa al otro lado multiplicando:

\( 4\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=5\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)

Eliminamos los paréntesis exteriores de ambos lados:

\( 4\cdot \frac{x-1}{2}- 4\cdot\frac{1-x}{5}= 5\cdot\frac{2x-1}{5}- 5\cdot\frac{1-2x}{2} \)

Desparece una fracción en la izquierda y otra en la derecha:

\( 2(x-1)-4\cdot\frac{1-x}{5}= (2x-1)- 5\cdot\frac{1-2x}{2}\)

Multiplicamos la ecuación por 10:

\( 20(x-1)-4\cdot 2(1-x)= 10(2x-1)- 5\cdot 5(1-2x)\)

Operamos en ambos lados.

$$ 20x -20 -8 +8x = 20x -10 -25 +50x$$

$$ 28x -28 = 70x -35 $$

$$ -28 +35 = 70x -28x $$

$$ 7 = 42x $$

$$ x = \frac{7}{42} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = \frac{1}{6} $$

La solución de la ecuación es \( x = \frac{7}{42} \).

Llamamos \(x\) al número de monedas de 2€. Entonces, el número de monedas de 1€ es \(\frac{x}{2}\) y el de monedas de 0.5€ es \( \frac{x}{3}\).

Como el número total de monedas es 132, la ecuación del problema es:

$$ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 132 $$

La multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):

$$ 6\cdot x + 6\cdot \frac{x}{2} +6\cdot \frac{x}{3} = 6\cdot 132 $$

$$ 6x + 3x +2x = 792$$

$$ 11x = 792 $$

El 11 pasa dividiendo al otro lado:

$$ x = \frac{792}{11} $$

Simplificamos la fracción:

$$ x = 72 $$

El número de monedas de 2€ es 72.

Si \(x\) es el número total de bolas, el número de bolas blancas es \( \frac{x}{3}\) y el de bolas negras es \( \frac{x}{5}\).

Como el número total de bolas es \(x\), tenemos la ecuación

$$ \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + 14 = x $$

Multiplicamos por 15:

$$ 5x + 3x + 210 = 15x$$

$$ 8x + 210 = 15x $$

$$ 210 = 15x-8x $$

$$ 210 = 7x $$

$$ x = \frac{210}{7} $$

$$ x = 30 $$

El número total de bolas es 30.

Llamamos \(x\) a la edad de Jaime. Como Andrés es 5 años mayor, su edad es \(x+5\).

La mitad de la edad de Jaime es

$$ \frac{x}{2} $$

Y la tercera parte de la edad de Andrés es

$$ \frac{x+5}{3} $$

La ecuación del problema es

$$ \frac{x}{2} =\frac{x+5}{3} $$

Como tenemos una igualdad entre dos fracciones, pasamos los denominadores multiplicando al otro lado:

$$ 3\cdot x = 2\cdot (x+5) $$

$$ 3x = 2x + 10 $$

$$ 3x-2x = 10 $$

$$ x = 10 $$

Por tanto, Jaime tiene 10 años.

Dentro de \(x\) años, la edad de Alberto será \(14+x\) y la de su primo será \(22+x\). Como la mitad de estas edades tiene que sumar 30,

$$ \frac{14+x}{2} + \frac{22+x}{2} = 30 $$

Podemos sumar las fracciones fácilmente porque tienen el mismo denominador:

$$ \frac{14+x + 22+ x}{2} = 30 $$

$$ \frac{36+2x}{2} = 30 $$

El denominador pasa al otro lado multiplicando:

$$ 36 +2x = 60 $$

$$ 2x = 60-36 $$

$$ 2x = 24 $$

$$ x = \frac{24}{2} $$

$$ x = 12 $$

Deben pasar 12 años.

El número que buscamos es \(x\). Su consecutivo es \(x+1\). La mitad del consecutivo de \(x\) es

$$ \frac{x+1}{2} $$

El triple de la suma de los dos números es 24:

$$ 3\cdot \left( x+\frac{x+1}{2} \right) = 24$$

Eliminamos el paréntesis multiplicando sus sumandos por 3:

$$ 3x + 3\cdot \frac{x+1}{2} = 24 $$

Multiplicamos la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

$$ 6x + 3(x+1) = 48 $$

$$ 6x +3x +3 = 48 $$

$$ 9x + 3 = 48 $$

$$ 9x = 48-3 $$

$$ 9x = 45 $$

$$ x = \frac{45}{9} $$

$$ x = 5 $$

El número buscado es 5.